Àtous, je galère un peu sur deux petits exercices en math, pouvez vous m'aider svp?
exo 1
trouver le sommet de la parabole de ces deux courbes suivantes avec le détail des calculs
h(x)= -1/2(x+1)²+3
k(x)= -x² + x
exo 2
répondre aux trois questions suivantes en disant quel expression avons nous utiliser parmi les trois suivantes
f(x)= 3(x+2)²-27
f(x)= 3(x-1)(x+5)
f(x)= 3x²+12x-15
a) calculer les images de 0 ; 1 ; -1
b) résoudre l'équation f(x)= 0
c) déterminer le maximum ou le minimum de la fonction f. pour quelle valeur x est - il atteint?
Réponses: 1
1) Trouver le sommet de la parabole de ces deux courbes suivantes
méthode :
a) la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2
f(x) = ax² + bx + c est de la forme f(x) = a(x - α)² + β
α et β sont les coordonnées du sommet
h(x)= -1/2(x+1)²+3 est écrite sous forme canonique
h(x) = -1/2[x - (-1)]² + 3
coordonnées du sommet : (-1 ; 3)
b) f(x) = ax² + bx + c l'abscisse du sommet est -b/2a
on calcule l'ordonnée en remplaçant x par la valeur trouvée dans f(x)
k(x)= -x² + x
abscisse du sommet : -b/2a = -1/-2 = 1/2
ordonnée du sommet : f(1/2) = -1/4 + 1/2 = 1/4
coordonnées du sommet (1/2 ; 1/4)
2)
a)
Calculer les images de 0 ; 1 ; -1
image de 0 ; on choisit f(x)= 3x²+12x-15
f(0) = -15 (pas de calcul à faire, c'est le terme constant)
image de 1 ; on choisit f(x)= 3(x-1)(x+5)
f(1) = 0 (le second facteur du produit est nul)
image de -1 ; on choisit f(x)= 3(x+2)²-27
f(-1) = 3*1² - 27 = 3 - 27 = -24
on choisit chaque fois la forme qui donne le moins de calculs
b)
Résoudre l'équation f(x)= 0
dans ce cas il faut choisir la forme factorisée
f(x) = 0 si et seulement si 3(x-1)(x+5) = 0
x-1 = 0 ou x + 5 = 0
x = 1 ou x = -5
S = {-5 ; 1}
1) Déterminer le maximum ou le minimum de la fonction f.
le coefficient de x est positif, la représentation de f est une parabole tournée vers le haut. Il y a donc un minimum.
Pour quelle valeur x est - il atteint?
l'abscisse du sommet est -b/2a soit -12/6 = -2
ce minimum est atteint quand x vaut -2
réponse :
1) modèle compact est le modèle B et le modèle écarter est le modèle A
Désolé ses se que je sais pour le reste je suis pareil que vous .
1)
3(x - 3)(2x - 1) = 3(2x² - x - 6x + 3) = 3(2x² - 7x + 3)
= 6x² - 21x + 9 = f(x) ,
Conclusion :
∀ x ∈ R , f(x) = 6x² - 21x + 9 .
2)
f(x) = 0 ;
donc : 3(x - 3)(2x - 1) = 0 ,
donc : x - 3 = 0 ou 2x - 1 = 0 ,
donc : x = 3 ou 2x = 1 ,
donc : x = 3 ou x = 1/2 .
Conclusion :
f(x) = 0 pour x ∈ { 3 ; 1/2} .
3)
Voir le premier fichier ci-joint .
Conclusion :
On a : f(x) ≤ 0 pour x ∈ [1/2 ; 3] .
4)
On a : f(x) > 9 ,
donc : 6x² - 21x + 9 > 9 ,
donc : 6x² - 21x > 0 ,
donc : 3x(2x - 7) > 0 .
Voir le deuxième fichier ci-joint .
Conclusion :
On a : 3x(2x - 7) > 0 pour x ∈ ] - ∞ ; 0 [ ∪ ] 7/2 ; + ∞ [ ,
donc : f(x) > 9 pour x ∈ ] - ∞ ; 0 [ ∪ ] 7/2 ; + ∞ [ .
f(x)=6x²-21x+9
Δ=21²-4(9)(6)
Δ=441-216
Δ=225
√Δ=15
x=(21+15)/12=36/12=3
x=(21-15)/12=6/12=0.5
f(x) peut s'écrire
a(x-x0)(x-x1)
6(x-3)(x-0.5)=3(x-3)[2(x-0.5)
3(x-3)(2x-1)
f(x)=0
x-3=0 x=3
2x-1=0 x=0.5
x -∞ 0.5 3 +∞
x-3 - - 0 +
2x-1 - 0 + +
f(x) + 0 - 0 +
f(x)≤0 x ∈ [0.5;3 ]
f(x)>9
6x²-21x+9>9
6x²-21x>9-9
6x²-21x>0
x(6x-21)>0
x -∞ 0 3.5 +∞
x - 0 + +
6x-21 - - 0 +
x(6x-21) + 0 - 0 +
x(6x-21)> 0 x ∈ ]-∞, 0[ ∪ ]0,+∞[
une fraction est décimale quand elle a une fin
7/16 = 0.4375 donc oui
2/45 = 0.044444444444444444444 donc non, le 4 ne s'arrête jamais
3/15 = 0.2 donc oui
25/75 = 0.3333333333333333 donc non
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